Segitiga dan Angka Persegi Pascal

Di bawah ini adalah beberapa baris pertama dari segitiga Pascal:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 21 15 6 1

Angka-angka dalam huruf tebal adalah diagonal ketiga ketika segitiga Pascal digambar secara terpusat. Ini adalah angka segitiga, terbuat dari jumlah keseluruhan bilangan bulat (mis. 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5), dan dari ini kita dapat membentuk bilangan kuadrat. Yang harus kita lakukan adalah menambahkan nomor berurutan dari ini dan kita mendapatkan angka kuadratnya. Untuk mendapatkan nomor persegi pertama, kita harus menambahkan 0 di bagian depan daftar:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 …

0 + 1 = 1 = 1 ^ 2

1 + 3 = 4 = 2 ^ 2

3+ 6 = 9 = 3 ^ 2

6 +10 = 16 = 4 ^ 2

10 +15 = 25 = 5 ^ 2

15 +21 = 36 = 6 ^ 2

Kebetulan, Anda juga bisa mendapatkan nomor persegi dengan mengambil perbedaan angka dua tempat terpisah pada diagonal 4 dalam segitiga Pascal. Diagonal keempat pergi 1, 4, 10, 20 35 …, dan perbedaan yang Anda dapatkan adalah 1-0 = 1, 4-0 = 4, 10-1 = 9, 20-4 = 16, 35-10 = 25 dan seterusnya.

Untuk memahami mengapa Anda mendapatkan bilangan kuadrat dari penambahan nomor segitiga berturut-turut, Anda dapat menggunakan berbagai metode. Pertama, jika Anda tahu bahwa rumus untuk nomor segitiga n adalah (n ^ 2 + n) / 2, maka angka segitiga sebelumnya n kurang dari ini, karena jumlah angka yang sama tetapi dengan (n-1) dan bukan n sebagai angka terakhir yang Anda tambahkan. Jika kita kemudian menambahkan dua angka ini, kita dapatkan

(n ^ 2 + n) / 2 + (n ^ 2 + n) / 2 – n

= (1/2) n ^ 2 + n / 2 + (1/2) n ^ 2 + n / 2 – n

= n ^ 2 + n – n

= n ^ 2

Jika metode itu tidak sesuai dengan keinginan Anda, kami juga dapat menunjukkan hasil ini secara bergambar. Nomor segitiga mendapatkan namanya dari fakta bahwa Anda dapat membuatnya dengan menambahkan jumlah titik yang membuat ukuran segitiga berbeda, dan angka persegi dari jumlah titik yang membentuk kotak berukuran berbeda. Jadi yang perlu kita lakukan adalah membuat persegi dari dua segitiga titik. Jika Anda mencoba ini dengan koin atau counter, atau di atas kertas, dan membuat segitiga siku-siku, Anda harus menemukan bahwa Anda dapat membuat persegi dari dua segitiga, tetapi satu harus satu counter lebih kecil di masing-masing sisinya. Oke, itu bukan metode yang ketat untuk membuktikannya, tapi itu jauh lebih mudah daripada melakukan banyak aljabar, bukan?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *